Depende do país onde se está buscando obter a cidadania, pois cada país tem sua lei de nacionalidade.

Ter um ascendente europeu é um ponto positivo para consegui-la, mas nem sempre significa elegibilidade automática.

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Sim. Podem obter uma dupla cidadania pessoas casadas com europeus/europeias, por tempo de casamento ou união estável; também é possível consegui-la por tempo de residência, após um determinado período vivendo legalmente no país; ou por meio de investimentos, que dão direito a vistos especiais que não exigem residir no país.

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Em teoria, quantas quiser. Não existe nada na legislação brasileira que impeçam uma pessoa de ter mais de uma cidadania.

Depende. Primeiramente, depende dos documentos que a família possua e da necessidade de realizar buscas de documentos, que podem ser mais ou menos demoradas. Em segundo lugar, depende não só da cidadania para qual se está aplicando, mas também se é dada a entrada do processo no Brasil ou no país europeu, pois as filas nos consulados tendem a ser muito demoradas.

O passaporte é um mero documento de viagem. Não é ele que prova a a condição de cidadão. O processo de cidadania europeia, portanto, é dado por acabado quando se recebe o documento que ateste a cidadania, seja um certificado de cidadania ou mesmo uma certidão de nascimento europeia.

Ter uma cidadania europeia abre muitas portas: permite estudar, viver, trabalhar e investir em qualquer um dos 27 países da União Europeia. Além disso, cidadãos europeus não precisam de vistos para visitar certos países, como Estados Unidos e Japão.